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华师附中数学教育工作室

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中学数学特级教师,教授级高级教师,数学竞赛高级教练员,数学教育硕士生导师,长期 从事数学教育理论和教学实践研究,积极 探讨中小学数学优秀人才培养的规律与 方法。

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518、高校近年自主招生考试数学试题解析(转)  

2011-11-28 22:37:28|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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高校近年自主招生考试数学试题解析

    自从2006年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校招生改革“破冰”以来,各校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台。全国自主招生院校数目及招生规模也在增加,引起了教育界和广大考生、家长和中学教师对命题的高度关注。以下就近两年数学考试特点进行剖析。

  试卷特点分析

  1.基础知识和基本技能仍是考查重点

  基础知识、基本技能称之为“双基”。大家知道,能力与“双基”有着辩证关系。没有扎实的“双基”,能力培养就成了无源之水,无本之木。所以,“双基”训练是数学教学的重要任务之一。

  综观复旦、交大、清华等高校近几年自主招生的数学题目,我们会发现有60%至70%的题目仍是比较基础的。例如近三年来上海交大卷的填空题都是10题(50分),占试卷的一半,这些填空题比较常规,和高考试题难度相当。复旦卷有30题左右的选择题,也多半是学生平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点。

  2.考查知识点的覆盖面广,但侧重点有所不同

  复旦、交大等高校近几年自主招生的试题,知识点的覆盖面还是很广的,基本上涉及到高中数学大纲的所有内容。例如,函数、集合、数列、复数、三角、排列、组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等。

  但高校自主招生试题命题是由大学完成的,更多会考虑到高等数学与初等数学的衔接,所以提请大家注意几个方面:

  函数和方程问题、排列组合和概率统计等 粗略统计,2008年复旦卷中与函数和方程有关的试题多达10题,占31%。

  复数 复数通常在高考中要求比较低,占的比分也较少,但在复旦卷中仍占有一席之地(2008年及2007年分别有2题和3题)。

  矩阵和行列式 这些知识虽然目前还未纳入高考范围,但由于是高等数学中非常重要的内容,近几年在复旦卷中每年都会出现。

  以上各点,望能引起广大师生的注意。

  当然由于上述同样的原因,尽管高考中解析几何是一个比较重要的内容,但在复旦卷中所占比例却较少,例如,2008年和2007年只有2题和1题。

  3.注重数学知识和其他科目的整合,考查学生应用知识解决问题的能力

  2008年交大冬令营数学试卷中有这样一个问题:

  通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息,其中ai=0或1,i、n∈N。设u=(a1,a2,a3,……an),v=(b1,b2,b3,……bn),d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数。

  (1)u=(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v使得d(u,v)=1

  (2)u=(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v使得d(u,v)=3

  (3)令w=(01,04,02……0),u=(a1,a2,a3……an),v=(b1>,b2,b3……bn)

  求证:d(u,w)+d(v,w)≥d(u,v)

  此问题与计算机中的“二进制”有关。前两问是排列组合计数问题,尤其是第三问有一定的挑战性。可把d(u,v)转化为一个绝对值问题

  4.突出对思维能力和解题技巧的考查

  近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次,有时甚至达到相当于数学竞赛的难度。

  例如,2007年交大冬令营卷中有这样一个问题:

  设f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a,试证明对任意实数a:

  (1)方程f(x)=0总有相同实根

  (2)存在x0,恒有f(x0)≠0

  这两问解决的策略和方法是:换一个角度看成一个关于a的一次函数。

  应试和准备策略

  针对上述自主招生试题特点,学生复习时应注意以下几点:

  1.注意知识点的全面

  数学题目被猜中的可能性很小,一般知识点都靠平时积累,剩下的就是个人的现场发挥。数学还是要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩,因此,学生平时必须把基础知识打扎实。

  另外,对上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题,如矩阵、行列式等也不可忽视。

  2.适当做些近几年的自主招生的真题

  俗话说:知己知彼,百战百胜。同学们可适当训练近几年自己所考的高校所出的自主招生试题,熟悉一下题型和套路。

  3.注重知识的延伸和加深

  复旦、交大、清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难,比数学竞赛试题又稍简单,有些问题稍有深度,这就要求考生平时注意知识点的延伸和加深。例如2008年复旦卷的第77题:

  四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题。具体情况如下表所述。

  其中有三位学生一个问题都没有解决。问:三个问题都解决的学生数是( )。

  A.5 B.6  C.7  D.8

  此题若是用画图、文氏图等方法虽能解决,但花费时间较多。若是知题三个集合的容斥原理,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|,只要代入公式,马上就可解决。

  又如第88题:

  设x1,x2,x3是方程x3+x+2=0

  此题若是知题三次方程的韦达定理,则也容易解决。而三次方程和韦达定理虽然可推导出来,但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉,对三次方程则比较陌生。

  又比如,柯西不等式可解决许多不等式问题,但由于目前上海高考不考,所以很多高中生对此不熟悉。

  总之,同学们若是多注意一些知识点的延伸和加深,考试时必定会有一种居高临下的感觉。

 

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